Teorema de Fermat

 

El pasado 15 de marzo del 2016 se entregó el premio Abel, el premio Nobel de matemáticas, a Andrew Wiles por haber confirmado una conjetura matemática cuya validez no había podido ser demostrada desde que se propuso en 1642.

Esta conjetura nació de la mano del jurista y matemático Pierre de Fermat que, mientras leía su copia del libro 'Arithmetica', un texto matemático escrito por Diofanto de Alejandría en el siglo III a.C., en sus márgenes iba anotando problemas y conjeturas que se le ocurrían sobre la marcha. En los siglos que se sucedieron tras su muerte, otros matemáticos fueron abordando y solucionando cada uno de los problemas que Fermat había garabateado… Hasta que sólo quedó uno por resolver:

“No existe ningún número entero positivo mayor que 2 que satisfaga la ecuación an + bn = cn”

Donde “n” es dicho número, por supuesto. Esta conjetura fue bautizada con el nombre de “el último teorema de Fermat”, precisamente porque era la última proposición de este autor que nadie había podido refutar o verificar.

Fermat y Pitágoras

En algún punto de nuestras vidas, todos hemos usado el teorema de Pitágoras, la fórmula que relaciona la longitud de los catetos de un triángulo con la longitud de su hipotenusa. Ese es precisamente el caso del teorema de Fermat cuando n=2. Pero, en este caso, la igualdad no tiene ningún misterio, porque sabemos que se cumple para una gran cantidad de combinaciones de números distintas. Por ejemplo, sabemos que 32 + 44 = 52 (9 + 16 =25).

 

Pero, ¿y si n=3? ¿Existe alguna combinación de números que, elevados al cubo, la suma de dos de ellos sea igual al cubo de un tercer número? ¿Y qué pasa con los infinitos exponentes mayores que 3? Pues, según Fermat, no existiría ninguna combinación de números que cumpla esta igualdad con cualquier número entero positivo superior a 2.

 

Pero no basta con decir las cosas para que se hagan realidad. Las proposiciones matemáticas se tienen que poner a prueba para demostrar su validez y, en el caso de Fermat, había que comprobar si es verdad que no existe ninguna combinación que cumpla su igualdad y que, por tanto, tenía razón, o si, por el contrario, sí que existe al menos una combinación que la cumple, lo que demostraría que su afirmación era falsa. Pero, aunque el concepto pueda parecer sencillo, comprobar si Fermat tenía o no razón no era una tarea fácil.

Cómo demostrar un teorema

Básicamente, si quieres comprobar la validez de un teorema matemático de este estilo, tienes dos opciones:

 

1. Ir probando combinaciones de números hasta encontrar un ejemplo que lo contradiga, con lo que demostrarías con toda seguridad que la proposición de Fermat es falsa.

 

2. Demostrar usando la lógica matemática si, por el motivo que sea, la afirmación es verdadera o falsa.

 

A primera vista, podría parecer que el camino más sencillo sería encontrar un ejemplo que refute el teorema de Fermat. Pero hay tener en cuenta que, si el teorema resultara ser verdadero, entonces te pasarías toda la vida metiendo números en la fórmula sin encontrar nunca un ejemplo que lo contradijera.

Mejor usar la lógica

Y eso es precisamente lo que hizo Andrew Wiles.

Nacido en 1953, Wiles se había encontrado por primera vez con el teorema de Fermat a los 10 años, cuando encontró un libro sobre éste en la librería mientras volvía del colegio. El teorema le fascinó porque, pese a ser tan simple que lo podía entender él mismo con 10 años, era tan complejo que nadie lo había resuelto en sus tres siglos de historia. Muchos matemáticos incluso sostenían que era imposible de resolver.

Wiles sabía que las habilidades matemáticas que tenía en ese momento no le servirían para resolver el teorema, de modo que lo olvidó hasta 1986.

El secreto para resolver este teorema estaba en la geometría, concretamente en la representación matemática de las curvas elípticas y en unas entidades matemáticas llamadas formas modulares, que son unas funciones muy simétricas y abstractas que existen en el plano de los números imaginaros (aquellos que incluyen la raíz cuadrada de -1).